Muchas veces los grandes conceptos matemáticos se explican mejor con rompecabezas; encontrar la solución lleva a desarrollar herramientas, fórmulas o métodos de razonamiento que luego sirven para aplicar en otras áreas.
Este problema de los clavos y la cuerda es un gran ejemplo, y si no atención a la lista de asuntos implicados: teoría de grupos, conmutadores, simetrías, grafos de Cayley, bucles, generadores, fractales… Todo en 15 minutos de vídeo –con muy buenos subtítulos– que en absoluto resultan aburridos (dado que prácticamente se introduce un nuevo concepto cada minuto).
El problema consiste en enrollar una cuerda dándola vuelta en cierto número de clavos de modo que puedan sujetar en una pared un cuadro y que no se caiga, pero de modo que quitando cualquiera de los clavos todo el montaje se desmorone y el cuadro caiga por su propio peso. Aunque es fácil encontrar formas de hacerlo con pocos clavos el problema exige que funcione al quitar todos y cada uno de los clavos; el cuadro ha de caer siempre.
Quien desvela la solución al enrevesado asunto es Nakul Dawra de Gold Plated Goof, un canal relativamente reciente (tiene menos de un año) con contenidos altamente recomendables.
Dawra simplifica el problema a la situación con dos clavos y explica cómo crear una notación para las operaciones de «enrollado». Cada forma de enrollarlos (por larga y en revesada que sea) equivaldría a una fórmula, en cierto modo parecida a una multiplicación. Es fácil descubrir qué operaciones hacen que unos giros se cancelen con otros «desenrollando» la cuerda y volviendo a la configuración inicial (que equivale a «el cuadro cae»). Pero el orden en que se hacen los diversos giros influye, de modo que esos manejos no son conmutativos como en la multiplicación, sino algo un poco diferente.
Aquí es donde Dawra introduce la idea como parte de la teoría de grupos, algo que –como muchos aficionados conocerán– está en el corazón de rompecabezas como el cubo de Rubik y sus variantes, además de en otros órdenes de la vida.
La cosa puede complicarse tanto como sea necesario; de hecho en el rompecabezas planteado con clavos se puede demostrar que se puede utilizar cualquier número de clavos en el que se vaya enrollando la cuerda de forma enrevesada siempre que se combinen adecuadamente los conmutadores inversos que vayan revirtiendo los giros a cada paso. Esto hace que el resultado sea en cierto modo «muy satisfactorio e increíble» –al final del vídeo hay varios ejemplos– con decenas de clavos y una larga madeja de cuerda en la que el planteamiento original funciona y el «enredo imposible» desaparece.
Curiosamente si se desarrolla visualmente el problema de los clavos y la cuerda el resultado es un grafo de Cayley fractal – de ahí su infinitud y la propiedad de que si se construye correctamente ese serpenteante camino de cuerda el problema tiene una elegante solución.